Para obtener la base de datos de contenidos de una Colección de sitios mediante PowerShell:
$site = Get-SPSite http://{Url de la Colección}
$site.ContentDatabase
Para obtener una referencia a la aplicación web que contiene la Colección de Sitios:
$site = Get-SPSite http://{Url de la Colección}
$webapp = $site.WebApplication
También podemos utilizar:
Get-SPWebApplication http://{Url de la Colección}
Para obtener todas las bases de datos de contenido de una aplicación web:
$webapp = Get-SPWebApplication http://{Url de la Colección}
$webapp.ContentDatabases